A savoir

Algèbre

A. Identités remarquables

Pour tout nombre réel , tout nombre réel et tout nombre réel MATH

B. Equations du second degré

Soient trois nombres réels avec $a\neq 0.$

On appelle discriminant de l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ le nombre réel $\Delta$ défini par MATH

Lorsque $\Delta >0,$ l'équation admet deux solutions réelles distinctes MATH

On a alors MATH

Lorsque $\Delta =0,$ l'équation admet une unique solution réelle MATH

On a alors MATH

Lorsque $\Delta <0,$ l'équation n'admet aucune solution réelle

C. Suites arithmétiques et suites géométriques

La suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $a\in \U{211d}$ est définie par MATH

On a MATH

La suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison est définie par MATH

On a MATH

D. Sommes classiques

On a pour tout entier n : MATH

On a pour tout entier n et pour tout nombre réel différent de 1 : MATH

Analyse

A. Propriétés algébriques des fonctions usuelles

1. Fonction exponentielle

On a MATH

Pour tout nombre réel et tout nombre réel on a : MATH

2. Fonction logarithme népérien

On a MATH

On a pour tout nombre réel strictement positif et pour tout nombre réel strictement positif MATH

3. Liens entre les deux fonctions

Pour tout nombre réel strictement positif et pour tout nombre réel on a MATH

Pour tout nombre réel et pour tout nombre réel strictement positif MATH

4. Compléments sur les puissances

Pour tout nombre réel et pour tout entier non nul, on a MATH

Pour tout nombre réel non nul et pour tout entier non nul, on a MATH

Pour tout couple de nombres réels $\left( a,b\right)$ non nuls et tout couple d'entiers on a : MATH

Pour tout nombre réel différent de 0, on a MATH

$0^{0}$ n'existe pas, mais souvent on considére conventionnellement que 0 $^{0}=1.$

Pour tout nombre réel positif on a MATH

De façon générale, si est un nombre positif, et un entier naturel non nul, le nombre réel $a^{1/n}$ est l'unique solution positive de l'équation $x^{n}=a.$

B. Limites usuelles des fonctions exponentielles et logarithmes.

Comportement à l'origine

Comportement à l'infini	Croissances comparées à l'infini



	pour tout
	pour tout
	pour tout

C. Opérations sur les limites

Opérations algébriques

On suppose que f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle de $\U{211d}$ , et que f (respectivement g) admet $\ell$ (resp. $\ell$ ') comme limite en a (a fini ou infini). Alors :

* Somme

$\ell$	fini	+ $\infty$	+ $\infty$	+ $\infty$
$\ell ^{\prime }$	fini	fini	+ $\infty$	$-\infty$
		+ $\infty$	+ $\infty$	F.I.

* Produit

$\ell$	fini	$\ell >0$	$\ell <0$	+ $\infty$	+ $\infty$	0
$\ell ^{\prime }$	fini	+ $\infty$	+ $\infty$	+ $\infty$	$-\infty$	+ $\infty$
		+ $\infty$	$-\infty$	+ $\infty$	$-\infty$	F.I.

* Quotient

$\ell$	fini	fini, $\ell >0$	fini, $\ell <0$	fini, $\ell >0$	0	$\infty$
$\ell ^{\prime }$	fini non nul	0 $^{+}$	0 $^{+}$	0 $^{-}$	0	$\infty$
		+ $\infty$	$-\infty$	$-\infty$	F.I.	F.I.

Composition des fonctions

Si et alors g $\circ f(x)=\ell$

où a,b et $\ell$ peuvent être finis ou infinis.

Comparaison

Hypothèse 1 inégalité pour proche de	Hypothèse 2 Comportement pour $x\rightarrow a$	Conclusion
$f(x)\leq g(x)$	tend vers + $\infty$	tend vers + $\infty$
$g(x)\leq f(x)$	tend vers $-\infty$	tend vers $-\infty$
	tend vers 0	tend vers $\ell$
	et ont la même limite $\ell$	tend vers $\ell$
$f(x)\leq g(x)$	et admettent des limites en