Pour tout nombre réel
,
tout nombre réel
et tout nombre réel
Soient
trois nombres réels avec
On appelle discriminant de l'équation
le nombre réel
défini par
Lorsque
l'équation admet deux solutions réelles
distinctes
On a alors
Lorsque
l'équation admet une unique solution réelle
On a alors
Lorsque
l'équation n'admet aucune solution réelle
La suite arithmétique
de premier terme
et de raison
est définie par
On a
La suite géométrique
de premier terme
et de raison
est définie par
On a
On a pour tout entier n :
On a pour tout entier n et pour tout nombre réel
différent de 1
:
1. Fonction exponentielle
On a
Pour tout nombre réel
et tout nombre réel
on a
:
2. Fonction logarithme népérien
On a
On a pour tout nombre réel strictement positif
et pour tout nombre réel strictement positif
3. Liens entre les deux fonctions
Pour tout nombre réel
strictement positif et pour tout nombre réel
on a
Pour tout nombre réel
et pour tout nombre réel
strictement positif
4. Compléments sur les puissances
Pour tout nombre réel
et pour tout entier
non nul, on a
Pour tout nombre réel
non nul et pour tout entier
non nul, on
a
Pour tout couple de nombres réels
non nuls et tout couple d'entiers
on a
:
Pour tout nombre réel
différent de 0, on a
n'existe pas, mais souvent on considére conventionnellement que
0
Pour tout nombre réel positif
on a
De façon générale, si
est un nombre positif, et
un entier naturel non nul, le nombre réel
est l'unique solution positive de l'équation
Comportement à l'origine |
![]() |
![]() |
Comportement à l'infini | Croissances comparées à l'infini |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
pour tout
![]() |
|
pour tout
![]() |
|
pour tout
![]() |
Opérations algébriques
On suppose que
f et g sont deux fonctions
définies sur un intervalle de
,
et que f (respectivement g)
admet
(resp.
')
comme limite en a (a fini ou
infini). Alors :
* Somme
![]() |
fini | +![]() |
+![]() |
+![]() |
![]() |
fini | fini | +![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
+![]() |
+![]() |
F.I. |
* Produit
![]() |
fini | ![]() |
![]() |
+![]() |
+![]() |
0 |
![]() |
fini | +![]() |
+![]() |
+![]() |
![]() |
+![]() |
![]() |
![]() |
+![]() |
![]() |
+![]() |
![]() |
F.I. |
* Quotient
![]() |
fini | fini, ![]() |
fini, ![]() |
fini, ![]() |
0 | ![]() |
![]() |
fini non nul | 0![]() |
0![]() |
0![]() |
0 | ![]() |
![]() |
![]() |
+![]() |
![]() |
![]() |
F.I. | F.I. |
Composition des fonctions
Si
et
alors
g
où a,b et
peuvent être finis ou infinis.
Comparaison
Hypothèse 1 inégalité pour
|
Hypothèse 2 Comportement pour![]() |
Conclusion |
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![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
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![]() |
![]() ![]() |
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![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
On retrouve les mêmes théorèmes avcc les suites.
Les formules ci-dessous peuvent servir à la fois pour calculer des dérivées et des primitives sur des intervalles convenables.
Dérivées et primitives des fonctions usuelles | Opérations sur les dérivées | ||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Pour une fonction
définie sur un intervalle
avec
l'accroissement moyen de
sur
est
Le nombre réel
est appelé taux d'accroissement
ou taux de variation de la fonction
entre
et
Si
l'accroissement relatif de
sur
est
Fonctions continues
Si
est une fonction continue sur un intervalle
alors
est intégrable sur
ou autrement dit
admet des primitives sur
Si
et
sont deux primitives de
alors il existe un nombre réel
tel que
Intégrale
Soit
une fonction admettant une primitive
sur un intervalle
On appelle intégrale de a à
de la fonction
le nombre réel noté
égal à
Propriétés des intégrales
Les hypothèses permettant d'utiliser les formules suivantes sont à connaître :
Si
est une primitive de
alors
Relation de Chasles :
Linéarité :
Positivité : Si
et
alors
Ordre : Si
et
alors
La valeur moyenne de
sur
(
est