A savoir

Algèbre

A. Identités remarquables

Pour tout nombre réel $a$, tout nombre réel $b$ et tout nombre réel $c$MATH

B. Equations du second degré

Soient $a,b,c$ trois nombres réels avec $a\neq 0.$

On appelle discriminant de l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ le nombre réel $\Delta $ défini par MATH

Lorsque $\Delta >0,$ l'équation admet deux solutions réelles distinctesMATH

On a alors MATH

Lorsque $\Delta =0,$ l'équation admet une unique solution réelle MATH

On a alors MATH

Lorsque $\Delta <0,$ l'équation n'admet aucune solution réelle

C. Suites arithmétiques et suites géométriques

La suite arithmétique MATH de premier terme $u_{0}$ et de raison $a\in \U{211d} $ est définie par MATH

On a MATH

La suite géométrique MATH de premier terme $u_{0}$ et de raison MATH est définie par MATH

On a MATH

D. Sommes classiques

On a pour tout entier n : MATH

On a pour tout entier n et pour tout nombre réel $q$ différent de 1 :MATH

Analyse

A. Propriétés algébriques des fonctions usuelles

1. Fonction exponentielle

On a MATH

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel $b,$ on a :MATH

2. Fonction logarithme népérien

On a MATH

On a pour tout nombre réel strictement positif $a$ et pour tout nombre réel strictement positif $b$ MATH

3. Liens entre les deux fonctions

Pour tout nombre réel $a$ strictement positif et pour tout nombre réel $x,$ on a MATH

Pour tout nombre réel $x$ et pour tout nombre réel $y$ strictement positif MATH

4. Compléments sur les puissances

Pour tout nombre réel $a$ et pour tout entier $n$ non nul, on a MATH

Pour tout nombre réel $a$ non nul et pour tout entier $n$ non nul, on aMATH

Pour tout couple de nombres réels $\left( a,b\right) $ non nuls et tout couple d'entiers MATH on a :MATH

Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on a MATH

$0^{0}$ n'existe pas, mais souvent on considére conventionnellement que 0$^{0}=1.$

Pour tout nombre réel positif $a,$ on a MATH

De façon générale, si $a$ est un nombre positif, et $n$ un entier naturel non nul, le nombre réel $a^{1/n}$ est l'unique solution positive de l'équation $x^{n}=a.$

B. Limites usuelles des fonctions exponentielles et logarithmes.

 

Comportement à l'origine
MATH
MATH

 

 

Comportement à l'infini Croissances comparées à l'infini
MATH MATH
MATH MATH
MATH MATH
  pour tout MATH
  pour tout MATH
  pour tout MATH

C. Opérations sur les limites

Opérations algébriques

On suppose que f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle de $\U{211d} $, et que f (respectivement g) admet $\ell $ (resp. $\ell $') comme limite en a (a fini ou infini). Alors :

* Somme

 

$\ell $ fini +$\infty $ +$\infty $ +$\infty $
$\ell ^{\prime }$ fini fini +$\infty $ $-\infty $
MATH MATH +$\infty $ +$\infty $ F.I.

* Produit

 

$\ell $ fini $\ell >0$ $\ell <0$ +$\infty $ +$\infty $ 0
$\ell ^{\prime }$ fini +$\infty $ +$\infty $ +$\infty $ $-\infty $ +$\infty $
MATH MATH +$\infty $ $-\infty $ +$\infty $ $-\infty $ F.I.

 

* Quotient

 

$\ell $ fini fini, $\ell >0$ fini, $\ell <0$ fini, $\ell >0$ 0 $\infty $
$\ell ^{\prime }$ fini non nul 0$^{+}$ 0$^{+}$ 0$^{-}$ 0 $\infty $
MATH MATH +$\infty $ $-\infty $ $-\infty $ F.I. F.I.

 

Composition des fonctions

Si MATH et MATH alors MATH g$\circ f(x)=\ell $

a,b et $\ell $ peuvent être finis ou infinis.

 

Comparaison

Hypothèse 1

inégalité pour $x$ proche de $a$

Hypothèse 2

Comportement pour $x\rightarrow a$
Conclusion
$f(x)\leq g(x)$ $f$ tend vers +$\infty $ $g$ tend vers +$\infty $
$g(x)\leq f(x)$ $f$ tend vers $-\infty $ $g$ tend vers $-\infty $
MATH $f$ tend vers 0 $g$ tend vers $\ell $
MATH $f$ et $h$ ont la même limite $\ell $ $g$ tend vers $\ell $
$f(x)\leq g(x)$ $f$ et $g$ admettent des limites en $a$ MATH

 

On retrouve les mêmes théorèmes avcc les suites.

D. Dérivées et primitives

Les formules ci-dessous peuvent servir à la fois pour calculer des dérivées et des primitives sur des intervalles convenables.

 

Dérivées et primitives des fonctions usuelles Opérations sur les dérivées
$f(x)$ $f~\prime (x)$
$k$ $0$
$x$ 1
MATH $nx^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$ $-\dfrac{1}{x^{2}}$
MATH MATH
$\sqrt{x}$ MATH
$ln(x)$ $\dfrac{1}{x}$
$e^{x}$ $e^{x}$
MATH
MATH
MATH
MATH
MATH
MATH
MATH
MATH
MATH
MATH

 

D. Accroissements

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle MATH avec $a<b,$ l'accroissement moyen de $f$ sur $\left[ a,b\right] $ est MATH

Le nombre réel MATH est appelé taux d'accroissement ou taux de variation de la fonction entre $a$ et $b.$

Si $f(a)\neq 0,$ l'accroissement relatif de $f$ sur $\left[ a,b\right] $ est MATH

E. Calcul intégral

Fonctions continues

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I,$ alors $f$ est intégrable sur $I,$ ou autrement dit $f$ admet des primitives sur $I.$

Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f,$ alors il existe un nombre réel $k$ tel que MATH

Intégrale

Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I.$ On appelle intégrale de a à $b$ de la fonction $f$ le nombre réel noté MATH égal à $F(b)-F(a).$

Propriétés des intégrales

Les hypothèses permettant d'utiliser les formules suivantes sont à connaître :

$\rightarrow $ Si $F$ est une primitive de $f$ alors MATH

$\rightarrow $ MATH

$\rightarrow $ Relation de Chasles : MATH

$\rightarrow $ Linéarité : MATH

$\rightarrow $ Positivité : Si $a\leq b$ et $f\geq 0$ alors MATH

$\rightarrow $ Ordre : Si $a\leq b$ et $f\leq g$ alors MATH

$\rightarrow $ La valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a,b\right] $ ($a\neq b)$ est MATH